小5正多角形と円のプリント

この単元のねらい

正多角形の性質を理解し、円の中心のまわりの角を等分して正多角形をかいたり、辺の長さや角度を求めたりできるようになることがねらいです。

学ぶ内容

5年生で習う正多角形は、辺の長さがすべて等しく、角の大きさもすべて等しい多角形です。正三角形や正方形も正多角形のなかまで、ほかに正五角形、正六角形、正八角形などがあります。辺の長さだけが等しいひし形や、角の大きさだけが等しい長方形は、正多角形ではありません。 正多角形は、円とむすびつけて学びます。円の中心のまわりの角は360度なので、これを辺の数で等分すると、正多角形の中心の角が求められます。正五角形なら360÷5=72度、正六角形なら360÷6=60度、正八角形なら360÷8=45度です。中心から頂点に引いた線で分けた三角形は、どれも合同な二等辺三角形になります。円の周りに等しい間かくで点を取り、順に結ぶと正多角形がかけるのは、このためです。 正六角形では、中心の角が60度なので、分けた三角形は6つとも正三角形になります。そのため、1辺の長さは円の半径と同じです。コンパスを半径の幅に開いたまま、円周に印をつけていくと、ちょうど6つで1周します。 正六角形のまわりの長さは半径の6倍、つまり直径の3倍です。円周はそれより長いので、円周は直径の3倍より少し長い、という見通しが持てます。この見通しは、同じ5年生で学ぶ円周率(3.14)の学習につながります。

つまずきやすいところ

• ひし形や長方形を正多角形だと思います。辺だけが等しい、角だけが等しい、という片方だけでは正多角形とはいえません。
• 中心の角を求めるときに、360度ではなく180度で割ったり、辺の数を数えまちがえたりします。
• 中心の角と、正多角形の1つの角(頂点の角)を取りちがえます。正六角形なら、中心の角は60度、1つの角は120度です。
• 対角線の数を数えるとき、同じ線を2回数えたり、辺を対角線にふくめたりします。
• 分度器を使う作図で、中心と分度器の中心がずれて、最後の辺が閉じません。

教え方・声かけのコツ

• ひし形や長方形を実際にじょうぎと分度器ではかって、辺か角のどちらかがそろっていないことを確かめさせると、定義が実感できます。
• 中心の角は、まず「360÷辺の数」と式で書いてから、分度器で作図すると、計算と作図が結びつきます。
• 正六角形は、コンパスで円をかいたあと、半径と同じ幅のまま円周に印をつけていくと、ちょうど6つになることを体験できます。
• 1つの角を求める問題は、中心から頂点に線を引いて、二等辺三角形の角から考えさせると、公式を覚えなくても求められます。

運営者の見方

52枚と多いのは、見分ける、辺や対角線の数を数える、中心の角や1つの角を求める、まわりの長さを求める、作図する、と項目がいくつもあるからです。「図形」の型を39枚にして、項目ごとに小さく分け、見分ける問題から始まるようにしました。 この単元のプリントで運営者がこだわったのは、図の大きさです。見分ける問題の図は、じょうぎや分度器で実際にはかって確かめられる大きさでかいてあります。ひし形や長方形が正多角形ではないことを、見た目ではなく測った数字で納得できるようにしたかったからです。作図の問題は、縮小すると測れなくなるので、「じっさいの大きさ(100%)」で印刷してください。 個別配慮は8枚で、図を大きくして問題数を減らしました。作図は小さなずれが最後の辺で表に出るので、大きな図のほうが落ち着いて取り組める場合があります。むずかしいは5枚で、図や表を読む、式を立てる、まちがいを直す、理由を書く、を混ぜています。

よくある質問

Q. 分度器やコンパスは必要ですか。
A. かく問題では必要です。見分ける問題でも、じょうぎと分度器ではかって確かめられるようにしてあります。辺や対角線の数を数える問題は、道具がなくても取り組めます。

Q. 正多角形は何角形まで習いますか。
A. 正三角形・正方形のほか、正五角形・正六角形などを扱います。学習指導要領の解説には正八角形の例も挙げられています。どこまで扱うかは教科書によって違います。

Q. 円周と正六角形のまわりの長さをくらべるのはなぜですか。
A. 正六角形のまわりの長さは半径の6倍(直径の3倍)なので、円周がそれより長いことから、円周は直径の3倍より大きいという見通しが持てるからです。学習指導要領の解説でも、円周率を学ぶときの見通しとして、この考え方が示されています。