小6柱体・円すいの体積と表面積のプリント

この単元のねらい

円柱・台形を底面とする四角柱・円すいの体積と表面積を、図を見ながら、分けて足す・全体からひく、という考え方で求められるようにします。

学ぶ内容

円柱や角柱の体積は「底面積×高さ」で求め、小学6年の算数で習います。円すいの体積(底面積×高さ÷3)と、立体の表面積は、学習指導要領では中学1年の内容です。この単元では、円柱の体積と表面積、台形を底面とする四角柱の体積、円柱の容器と水の量を基本として扱います。標準では、段のある立体、円柱の穴をあけた直方体、パイプの形、円すいの体積と表面積、円柱に円すいをのせた形に進みます。表面積は、「底面積(円柱は2つ分)+側面積」で求めます。円柱の側面は、たてが高さ、横が底面の円周の長方形です。円すいの側面積は「母線×半径×3.14」で、展開図では側面がおうぎ形になります。発展では、円柱を切り分けて表面積がふえる量、側面積が底面積の何倍かから側面のおうぎ形の中心角や表面積を求める問題、頂点を中心に平面の上を転がした円すいの側面積、容器に円柱や円すいのおもりをしずめたときに水面が上がる高さまで進みます。円周率は3.14です。

つまずきやすいところ

• 直径で図に示されているのに、そのまま半径として計算してしまいます。先に2でわって半径にします。
• 円柱の表面積で、底面を1つ分しか入れない、または側面の長方形の横が円周になることに気づかないことがあります。
• たとえば半径3cm・高さ10cmの円柱では、体積は3×3×3.14×10=282.6cm³、表面積は底面2つの56.52cm²と側面188.4cm²を合わせて244.92cm²です。
• 円すいの体積を、円柱と同じ「底面積×高さ」で答えてしまい、3でわるのを忘れます。
• 段のある立体やくりぬいた立体で、足す・引く、の判断を間違えます。穴の内側の面を、表面積に入れ忘れることもあります。

教え方・声かけのコツ

• 図に長さが書いてあったら、「これは直径か、半径か」を最初に声に出して確かめます。
• 円すいの例として、半径3cm・高さ4cm・母線5cmなら、体積は3×3×3.14×4÷3=37.68cm³、側面積は5×3×3.14=47.1cm²、表面積は47.1+28.26=75.36cm²です。
• 円すいの側面積が底面積の何倍かは、母線÷半径で決まります。上の例では5÷3倍で、側面のおうぎ形の中心角は360×3÷5=216度になります。
• 円すいを頂点を中心に転がす問題では、底面のふちがえがく円の半径が母線です。ちょうど4回転でもとにもどるなら、母線は底面の半径の4倍です。
• 段のある立体は、前の面を底面と考え、表面積を「前後の面2つ+まわりの長さ×奥行き」で求めます。

運営者の見方

この単元は、図形の種類が多く、円周率の計算も重なるので、途中の式を書き残すことをすすめています。ポイントの1枚には、円柱の体積と表面積、円すいの表面積、段のある立体の体積と表面積を、例題と解説でまとめました。円すいの底面は1つだけなので2倍しない、段のある柱は前の面を底面と考える、という注意もそこに書いています。きほんの10枚は、図のある問題が3問ずつで、斜めからかいた図をかいてもよい形です。ふつうの10枚は、基本の型の大問1問と標準の型の大問2問が並びます。はってんの6枚は、切り分けて表面積がふえる量、側面積と底面積の関係、頂点を中心に転がす円すい、水面が上がる高さなどです。答えの版には、個別配慮をのぞいて解き方の式をのせているので、直径を半径に直したか、3でわったかを、式で見くらべられます。個別配慮の2枚は、円柱と台形を底面とする四角柱の体積・表面積だけにして、文字と枠を大きくしました。小テストは基本1問・標準2問の100点満点です。

よくある質問

Q. 円すいは小学校で習いますか。
A. 学習指導要領では、角すいや円すいは中学1年で学び、体積や表面積の求め方もそこで扱います。ただ、受験算数では小学生のうちに扱われることが多く、このプリントはその前提で作っています。

Q. 円周率の計算は、どうやって工夫すればよいですか。
A. 3.14の計算は、途中を分けて1つずつ書くと、どこでまちがえたかが分かりやすくなります。慣れてきたら、同じ3.14を何度も掛けるときに、半径などの数字を先にまとめて最後に3.14を掛けると、計算が楽になることもあります。

Q. 円すいの側面が、おうぎ形になるのはなぜですか。
A. 円すいを母線にそって切り開くと、側面は、母線を半径とするおうぎ形になるためです。おうぎ形の弧の長さは、底面の円周と同じ長さになります。