小6展開図と回転体のプリント
小6 中学受験 算数 / 10月・11月ごろに習います
学年と「〜月ごろ」は、中学受験の塾で習う一般的な時期です(学校の授業とはちがいます)。つるかめ算などの特殊算は、学校の教科書にはほとんど出てきません。塾によって順番がちがうので、目安としてお使いください。
立方体・円柱・円すい・直方体の展開図と、図形を1回転させてできる回転体を扱います。基本(立方体の展開図で向かい合う面・円柱の展開図の側面の横の長さと面積・円すいの展開図のおうぎ形の中心角と底面の半径・直方体の展開図の体積と面積)、標準(直角三角形の回転体・階段形の回転体・2つの面を広げた図のひもの長さ・展開図の側面から円柱の体積)、発展(直方体の表面にそった最短のひもが辺と交わる点・軸にくっつかない長方形の回転・直角台形の回転(円柱から円すいをくりぬいた形)・ひし形を対角線で回転)。答えには解き方の式ものせています。
① 円すいの展開図では、おうぎ形の弧の長さと底面の円周が等しい(中心角 = 360 × 半径 ÷ 母線) ② 立方体の展開図は、一直線に並んだ3つの面の両はしが向かい合う ③ 回転体は、軸に垂直に切った円を重ねた立体と考える
この内容は「ポイント」のプリント(下の一覧)としても印刷できます。
先生へのメモ
円すいの展開図は「おうぎ形の弧の長さ=底面の円周」から、中心角=360×底面の半径÷母線、と求めます。立方体の展開図は、まっすぐ並んだ面の1つおきが向かい合います。回転体は、軸のまわりに円をえがく立体なので、軸に垂直な辺が半径、軸にそった辺が高さです。最短のひもは、2つの面を広げた長方形の対角線です。長さは直角三角形の辺の比(3:4:5、5:12:13)を問題文に示して求め(三平方の定理は使いません)、辺と交わる点の位置は、広げた図の相似で求めます。
この単元がわかったら、入試の大問へ「一問入魂」
- 立方体の展開図(最難関コース・目安15分。問題と答えは無料・くわしい解説あり)
1枚だけでなく、忘れる前にくり返して定着させたいときは、コースが便利です。次はいつ・どのプリントを使うか、日程を自動で決めます(通常/配慮、先生用/家庭用)。
コースで使うプリント一覧
はじめて使うなら 展開図と回転体 きほん その1 から。型ごとの違いは下のとおりです。
ポイント (1枚)
きほん (10枚)めやす: 偏差値 〜49の学校
ふつう (10枚)めやす: 偏差値 50〜59の学校
はってん (6枚)めやす: 偏差値 60〜の学校
小テスト (2枚)
個別配慮 (2枚)
この単元について(ねらい・つまずき・教え方・運営者の見方)
この単元のねらい
立方体・円柱・円すいなどの展開図と、図形を1回転させてできる回転体を、辺の長さや面積、体積と結びつけて考えられるようにします。
学ぶ内容
この単元は、立体と平面の行き来を扱います。展開図は、立体の面を切り開いて平面に広げた図です。立方体の展開図では、まっすぐ一列に並んだ面の1つおきが向かい合う面になります。円柱の展開図は、2つの円と長方形(側面)で、長方形の横の長さは底面の円周に等しくなります。たとえば底面の半径が3cm、高さが5cmの円柱なら、横は3×2×3.14=18.84cmで、側面積は18.84×5=94.2cm²です。円すいの展開図は、底面の円と、側面のおうぎ形です。おうぎ形の弧の長さが底面の円周に等しいことから、中心角は 360×(底面の半径)÷(母線の長さ) で求めます。底面の半径3cm、母線9cmなら、360×3÷9=120度です。 回転体は、平面の図形を軸のまわりに1回転させてできる立体で、軸に垂直な辺が半径、軸にそった辺が高さになります。たとえば直角をはさむ辺が3cmと4cmの直角三角形を、4cmの辺を軸に回すと円すいができ、体積は3×3×3.14×4÷3=37.68cm³です。直角台形を回すと、円柱から円すいをくりぬいた形になることもあり、体積は「円柱−円すい」で求めます。 小学校では、直方体・立方体の展開図を4年、角柱・円柱の展開図を5年で学びます。円すい、おうぎ形の弧の長さ、円すいの体積、回転体は、中学1年の数学の内容です。
つまずきやすいところ
- 立方体の展開図で、向かい合う面を正しく見つけられません。まっすぐ並んだ面の、1つおきの面が向かい合うことを確かめます。
- 円すいの展開図で、おうぎ形の弧の長さと、底面の円周が等しいことを使い忘れます。母線がおうぎ形の半径になることも混同しがちです。
- 回転体の形を、頭の中だけで想像しようとして、まちがえます。回転の軸が図形のどこにあるかで、できる立体が変わります。
- 軸にくっつかない図形(軸から離れた長方形など)を回転させたとき、中が空いた形(筒のような形)になることに気づきません。表面積では、外側と内側の側面の両方を足す必要があります。
- 最短のひもの問題で、広げる面を選びまちがえます。ひもが通る2つの面を広げて、長方形の対角線にする必要があります。
教え方・声かけのコツ
- 展開図は、実際に紙に描いて切り、折ってみる体験が助けになります。折れる・折れないを自分の手で確かめる経験が、頭の中の想像を支えます。
- 円すいの中心角は、「弧の長さ=底面の円周」を図に書きこんでから、割合の計算に進ませます。
- 回転体は、軸を太い線で描き、図形を軸の反対側にも写して、全体の輪郭を描かせます。
- 最短のひもは、面を広げて、2点を直線で結ぶ図を描くところまでを、まず練習の目標にします。
運営者の見方
この単元は、展開図と回転体という2つのテーマを、1つの単元にまとめています。どちらも「平面の図と立体を行き来する」点が共通しているからです。どの問題にも図がつくので、1枚の問題数は3問です。ポイントの1枚は、円すいの展開図の中心角、立方体の展開図で向かい合う面、直角三角形を回してできる円すいの体積の3つの例題です。きほんの10枚は、立方体の展開図で向かい合う面、円柱の展開図の側面の横の長さや展開図全体の面積、円すいの展開図の中心角(または中心角から底面の半径)、直方体の展開図からの体積や面積です。ふつうの10枚は基本1問と標準2問の組で、標準は直角三角形の回転体、階段形の回転体、直方体の2つの面を広げた図でのひもの長さ、展開図の側面の横の長さから円柱の体積を出す問題です。はってんの6枚は、直方体の表面にそった最短のひもが辺と交わる点、軸にくっつかない長方形の回転、直角台形の回転(円柱から円すいをくりぬいた形)、ひし形を対角線を軸に回転させた形(2つの円すいをはり合わせた形)です。最短のひもの長さは、3:4:5、5:12:13の直角三角形の辺の比を問題文に示して求め、三平方の定理は使わない形にしています。辺と交わる点の位置は、広げた図の相似で求めます。答えの版には解き方の式をのせています。小テストの2枚は基本1問・標準2問で100点満点、個別配慮の2枚は文字と枠を大きくして、円柱・円すい・直方体の展開図の問題を1枚2問にしています。
よくある質問
Q. 円すいや回転体は、小学校で習いますか。
A. 円すいや回転体、おうぎ形の弧の長さは、中学1年の数学で学びます。小学校では、直方体・立方体の展開図を4年で、角柱・円柱の展開図を5年で学びます。受験算数では、円すいや回転体も扱われます。
Q. 展開図の問題で、おうぎ形の中心角の求め方がむずかしく感じます。
A. 底面の円周と、母線を半径とした円の円周の割合が、中心角と360度の割合に等しい、と考えます。たとえば底面の半径が母線の3分の1なら、中心角は360度の3分の1で120度です。
Q. 三平方の定理を知らなくても解けますか。
A. 解けます。この単元の最短のひもの問題では、3:4:5や5:12:13の辺の比を問題文に示して、長さを求める形です。