小6円とおうぎ形の応用のプリント
小6 中学受験 算数 / 5月・6月ごろに習います
学年と「〜月ごろ」は、中学受験の塾で習う一般的な時期です(学校の授業とはちがいます)。つるかめ算などの特殊算は、学校の教科書にはほとんど出てきません。塾によって順番がちがうので、目安としてお使いください。
円やおうぎ形の「まわりの長さ」と「転がる・ひも」を求めます。基本(おうぎ形の弧・トラック・窓型・車輪の回転)、標準(長方形や円のまわりを転がる円・ひもでまとめる・かどを切った形)、発展(円が通ったあとの面積・半円のまわり・6本7本の缶をたばねるひも・正三角形の転がり)。円周率は3.14とします。問題はすべて図つきです。
① 円周は 直径×3.14 ② おうぎ形の弧は 円周×中心角/360 ③ 転がる円は【中心が動く線】を考える ④ ひもは「直線部分+弧(合わせて円周)」
この内容は「ポイント」のプリント(下の一覧)としても印刷できます。
先生へのメモ
おうぎ形のまわりは「弧+半径2本」のたし忘れが多いところです。転がる円は、中心が動く線を点線でかかせ、かどの弧を合わせると円1周になることを確かめさせてください。
この単元がわかったら、入試の大問へ「一問入魂」
- 図形の回転と通過した部分(難関校コース・目安12分。問題と答えは無料・くわしい解説あり)
- 軌跡(最難関コース・目安15分。問題と答えは無料・くわしい解説あり)
1枚だけでなく、忘れる前にくり返して定着させたいときは、コースが便利です。次はいつ・どのプリントを使うか、日程を自動で決めます(通常/配慮、先生用/家庭用)。
コースで使うプリント一覧
はじめて使うなら 円とおうぎ形の応用 きほん その1 から。型ごとの違いは下のとおりです。
ポイント (1枚)
きほん (10枚)めやす: 偏差値 〜49の学校
ふつう (10枚)めやす: 偏差値 50〜59の学校
はってん (6枚)めやす: 偏差値 60〜の学校
小テスト (2枚)
個別配慮 (2枚)
この単元について(ねらい・つまずき・教え方・運営者の見方)
この単元のねらい
円やおうぎ形のまわりの長さを、弧と直線に分けて求め、円が転がったりひもでまとめたりする場面の長さを考えられるようにします。
学ぶ内容
円周を求める式(直径×3.14)は、小学5年の算数で習います。おうぎ形の弧の長さは、中心角が360度のうちのどれだけかを考えて、円周にその割合を掛けて求めます。おうぎ形の弧の長さや面積は、学習指導要領では中学1年の内容なので、ここでは中学受験算数の内容として扱います。この単元では、おうぎ形のまわりの長さ(弧に半径2本をたしたもの)や中心角、陸上競技場のトラックのように半円と直線を組み合わせた形、長方形に半円をのせた窓のような形、車輪が何回転したときに進む長さなどを、図を見ながら求めます。標準では、長方形や円のまわりを転がる円の中心が動く長さ、缶をひもでまとめる長さ、かどを四分円の形に切った形が加わります。転がる円やひもの問題は、直線の部分と弧の部分に分け、かどの弧を集めると円1周分になる、と考えます。発展では、大きな半円から小さな半円を切りとった形のまわり、6本の缶(1・2・3本の三角形や3本ずつ2列)や7本の缶(1本のまわりに6本)をたばねるひも、正三角形の転がり、円が通ったあとの面積などに進みます。円周率は3.14、問題はすべて図つきです。
つまずきやすいところ
- おうぎ形のまわりの長さを、弧だけで答えてしまいます。まわりの長さには、弧にくわえて、半径2本分がふくまれます。
- 弧の長さを求めるとき、中心角を360で割った割合を掛け忘れ、円周のまま答えます。
- 転がる円の中心が動く線を、図形のまわりの長さと同じ長さにしてしまいます。実際には、中心は図形から円の半径ぶん離れた線を動き、かどでは弧をえがきます。
- かどで円が回る弧が、全部でいくつあるか数えちがえます。長方形や三角形のように、へこみのない図形の外側を1周するときは、かどの弧を全部合わせると円1周分になります。
- 3.14を何度も掛けて計算がもたつきます。同じ3.14がかかる長さは、先に直径などをまとめてから最後に3.14を掛けると楽になります。
教え方・声かけのコツ
- おうぎ形のまわりの長さは「弧+半径+半径」と声に出してから式を書かせます。
- たとえば半径6cm、中心角60度のおうぎ形のまわりは、弧が2×6×3.14×(60÷360)=6.28cm、半径2本で12cmなので、合わせて18.28cmです。
- 転がる円は、円の中心が動く線を点線でかかせ、直線の部分と弧の部分を分けて長さを書き出します。たとえば長方形(たて5cm・横8cm)の外側を半径1cmの円が1周すると、中心は(8+5)×2=26cmの直線と、かどの弧4つ(合わせて円1周分)2×1×3.14=6.28cmを動き、合計は32.28cmです。
- ひもの問題は、缶にふれている「弧の部分」と、缶と缶のあいだの「直線の部分」に分けるよう声をかけます。直線の部分は、外がわの缶の中心を結んだ多角形のまわりと同じ長さで、6本や7本をたばねる並べ方では、どれも半径の12倍になります。
運営者の見方
円とおうぎ形の長さの問題は、図を見て「どの線が何の長さにあたるか」を分けることがほとんどです。このプリントの問題はすべて図つきです。ポイントの1枚では、おうぎ形のまわりが「弧+半径2本」になることと、長方形のまわりを転がる円の中心が動く長さ、3本の缶にまいたひもの長さを、例題の手順と解説でまとめています。きほんの10枚は、図のある問題が3問ずつで、おうぎ形の弧と中心角・トラック・窓の形・車輪の回転といった基本の場面を、図をかきながら解く形です。ふつうの10枚は、基本の型の大問1問と、転がる円・ひも・かどを切った形の標準の大問2問が1枚に並びます。はってんの6枚は、半円を組み合わせた形のまわり、缶をたばねるひもの長さから半径を逆に求める問題、正三角形の転がりなど、図形が複雑になります。答えの版には、個別配慮をのぞいて解き方の式をのせています。小テストの2枚は基本1問(33点)と標準2問の100点満点で、個別配慮の2枚は、おうぎ形の弧・トラック・車輪の転がりだけにして、文字と枠を大きくしました。
よくある質問
Q. おうぎ形は小学校で習いますか。
A. 学習指導要領では、おうぎ形の弧の長さと面積は中学1年の内容です。ただし、中心角を使って弧の長さを考える問題は、中学受験算数では小学生のうちに扱われることが多く、このプリントもその前提で作っています。
Q. 円周率は3.14以外を使うこともありますか。
A. この単元のプリントは、円周率をすべて3.14としています。中学校では円周率をπという文字で表して計算しますが、ここでは3.14で計算します。
Q. 転がる円の問題が難しく感じます。どうすればよいですか。
A. まず円の中心が動く線を、図に点線でかいてください。直線の部分は図形の辺と同じ長さ、かどでは中心が弧をえがく、と分けて考えると進めやすくなります。