小5比と連比のプリント

この単元のねらい

比の基本(比の値、簡単にする、比例式)から連比まで、比の数をそろえて考える型を身につけます。

学ぶ内容

比は、小学校6年生で習う内容です。この単元は、受験算数として5年生のうちに先取りして進める位置づけです。 土台になるのは、「比の両方に同じ数をかけても、同じ数でわっても、比は変わらない」という性質です。これを使うと、比を簡単にしたり、小数や分数の比を整数の比にそろえたりできます。たとえば0.6:0.9は両方を10倍して6:9、さらに3でわって2:3です。分数の比では、1/2:1/3の両方に分母の最小公倍数の6をかけて3:2になります。 比例式は、□を使って比が等しいことを表した式で、たとえば3:4=9:□なら、左の3が3倍で9になるので、□は4×3=12です。「内側の積=外側の積」でも解けますが、比の数をそろえて考える方が、次の「比の利用」につながります。 連比は、3つ以上の量の比を1つにまとめた比です。A:B=2:3とB:C=4:5があるとき、Bの比の数を3と4の最小公倍数の12にそろえます。A:B=8:12、B:C=12:15となり、A:B:C=8:12:15です。比の数をそろえる作業では、5年生で習う最小公倍数がそのまま使えます。

つまずきやすいところ

• 分数の比で、分母をそろえずに分子だけを並べてしまう。1/2:1/3を1:1としてしまうのが典型です。
• 連比で、共通の量(Bなど)の比の数をそろえずに、並べて書いてしまう。2:3と4:5を、そのまま2:3:4:5としてしまう誤りです。
• 比を簡単にするとき、片方だけに同じ数をかけたり、わったりしてしまう。「両方に」という約束が、計算の手の動きでは守られにくいです。
• 比の値と比を混同する。比の値は1つの数(分数や小数)で、比は「:」で表す、という区別があいまいになります。
• 文章題で、比の順序を取りちがえる。「AとBの比」は、書かれた順にA:Bと書くことを確かめないまま式を立ててしまいます。

教え方・声かけのコツ

• 比を「かたまりの数」でとらえさせます。2:3は「同じ大きさのかたまりが2つと3つ」という図をかくと、数をそろえる意味が見えます。
• 連比は、共通の量の比の数に○をつけて、最小公倍数にそろえてから並べる、という手順を毎回同じにします。
• 小数や分数の比は、「まず整数にする、それから約分」と順番を言葉にします。
• 比例式は、□をふくむ側の数が何倍になっているかを先に見つけさせます。

運営者の見方

この単元は、基本・標準・発展の順に型を積み上げる作りです。きほん10枚は、比の値、比を簡単にする、小数や分数の比、比例式の4つで、比の数の図をかいてもよい形にしています。 ふつう10枚は、基本の大問と標準の大問を1枚に並べています。標準は、比例式の文章題(混ぜる割合や長方形のたてと横)、連比、A:BとA:Cから B:C を求める「前の項が共通な比」、「Aの○分の△とBの□分の▽が等しい」ときの A:B、3つの比をつないだ4つの数の連比です。どれも、共通の量の比の数をそろえるか、分数を整数の比に直す操作に帰着します。 はってん6枚は、連比をつくってからAとCの差でBを求める問題、A・B・Cのそれぞれ何分のいくつかが等しいときの A:B:C、A:(B+C) と B:(A+C) から A:B:C を求める問題、(A+B):(B+C):(C+A) から A:B:C を求める問題です。和との比は、3つの和 A+B+C を共通の量と見てそろえるところが、連比と同じ考え方になっています。答えの版には解き方の式をのせています。 小テストはきほんとふつうの型から出題します。個別配慮の2枚は、比の値・比を簡単にする・比例式の問題から出し、文字と枠を大きくしています。

よくある質問

Q. 比は何年生で習いますか。
A. 小学校6年生です。この単元は、受験算数として早めに進める人向けの内容を含みます。

Q. 比例式の「内側の積=外側の積」は使ってもよいですか。
A. 使ってかまいません。ただ、このプリントでは、比の数をそろえる考え方を先に身につけるようにしています。次の「比の利用」で、①にあたる量を出すときにそのまま使います。

Q. 連比がうまくいかないときは、どうすればよいですか。
A. 共通の量をはっきりさせて、その比の数を最小公倍数にそろえる手順を、ふつうの連比の大問でくり返すとよいです。2と3、4と6のように、そろえる数が小さいものから始めると手順が見えやすくなります。