小5集合のプリント

この単元のねらい

2つ・3つの集合の人数を、式と表で整理して、「どちらか」「どちらでもない」「両方」の関係から人数を求められるようになることをねらいます。

学ぶ内容

集合は、「犬を飼っている人」「ねこを飼っている人」のように、条件に合う人や物の集まりを扱う単元です。2つの集合では、「Aの人数+Bの人数−両方の人数=どちらか(少なくとも一方)の人数」という式が基本です。ここで両方を引くのは、AとBの両方にあてはまる人を、2回数えているからです。たとえば40人のクラスで、犬を飼っている人が25人、ねこを飼っている人が20人、両方が8人なら、どちらかを飼っている人は25+20−8=37人で、どちらも飼っていない人は40−37=3人です。3つの集合になると、「たす・ひく・たす」の順に考えます。3つの人数をたして、2つずつの「両方」を引いて、3つともの人数をたします。3つともの人は、3回たして3回引いたことで0回になっているので、最後にもう一度たすのです。「ちょうど○つ」の人数や、アンケートの表の穴うめもこの単元の内容です。小学校でも4年で、データを2つの観点から分類して表に整理する学習をし、この単元の表はその延長にあたります。ただ、式で人数を求める集合の問題は、中学受験算数で学ぶ内容です。

つまずきやすいところ

• 両方の人数を2回数えてしまい、全体より多い人数が出ます。「両方」を引く意味が分からないまま、式を暗記しています。
• 「どちらでもない」人を、全体から引き忘れます。問題文が「どちらか」を聞いているのか「どちらでもない」を聞いているのかを、読みちがえるためです。
• 3つの集合で、最後の「3つとも」をたすのを忘れます。ひいた分がひき過ぎになっていると気づけません。
• 最大・最小の問題で、どのときに最大や最小になるのか、条件が思いつきません。

教え方・声かけのコツ

• 2つの集合は、たてと横に「あてはまる・あてはまらない」をとった表にすると、「両方」「Aだけ」「Bだけ」「どちらでもない」の4つのマスに分かれます。「どちらか」は、そのうち「どちらでもない」以外の3マスの合計だと確かめます。
• 答えの人数が全体より多くなっていないか、答えが出るたびに確かめさせます。
• 3つの集合は、「たす・ひく・たす」と声に出しながら、3つともの人が何回数えられたかを、3回たして3回ひいて0回、だからもう1回たす、と数えて確かめます。
• 最大・最小の問題は、まず「どちらでもない人が0人」や「両方の人が一番多い」場合を、紙に書いて考えさせます。

運営者の見方

集合の問題は、図をかいても、どの部分が何人なのかを取りちがえると答えがずれます。そこでこのサイトの紙面では、ベン図は使わず、「A+B−両方」の式と表で整理する方法を中心にしました。きほんのプリントの余白には、表をかいてもよいことを案内しています。きほんは2つの集合(どちらか・どちらでもない・両方・一方だけ)で、ふつうのプリントでは、標準の大問として3つの集合、ちょうど○つ、アンケートの表の穴うめ、条件から全体の人数を求める問題が加わります。はってんには、「多くて何人」「少なくて何人」を考える問題、人数の差から求める問題、3つの集合で全部にあてはまる人の最小、2の倍数または7の倍数の和のような倍数の和の問題を置きました。最大・最小は、答えを見つけるだけでなく、「なぜそれより多く(少なく)できないか」まで考える必要があります。倍数の個数を数える問題は、約数・倍数の単元でも扱います。個別配慮のプリントは、2つの集合の人数(どちらか・どちらでもない・両方)だけに絞り、文字と枠を大きくしました。人数の関係を一度で整理するのが難しい場合に、1つずつ確かめる入口として使えます。

よくある質問

Q. ベン図は使わないのですか?
A. このサイトの紙面では、式と表での整理を中心にしています。ベン図をかいて考えるやり方でも、同じ関係を表すことができます。

Q. 3つの集合は、どの順で教えればいいですか?
A. 2つの集合の式が安定してから、3つの集合へ進みます。3つになると「たす・ひく・たす」の順番が必要になるので、3つともの人が何回数えられたかを確かめながら進めると分かりやすいです。

Q. 最大・最小の問題は、必ず解けるようになる必要がありますか?
A. はってんの内容です。きほんとふつうの問題が確実になってから、取り組むとよいと考えています。